Fondamento Algebrico: Retta e Insiemi Affini
Per muoversi in un panorama di ottimizzazione multidimensionale, dobbiamo definire come spostarsi tra due punti $x_1$ e $x_2$. Una retta matematica è l'insieme di tutti i punti $y$ che soddisfano:
$$y = \theta x_1 + (1 - \theta)x_2$$
In modo equivalente, possiamo considerarlo come partire da $x_2$ e muoversi nella direzione $(x_1 - x_2)$ scalata da $\theta$: $y = x_2 + \theta(x_1 - x_2)$. Quando $\theta$ varia su tutti i numeri reali $\mathbb{R}$, generiamo un insieme affine. Una proprietà fondamentale da ricordare: Ogni retta è affine. Se passa per lo zero, è un sottospazio, quindi anche un cono convesso.
Un segmento di retta è la restrizione dove $0 \le \theta \le 1$. A differenza della retta infinita, un segmento di retta è convesso, ma non affine (tranne quando si riduce a un punto). Rappresenta l'insieme di tutte le "medie pesate" o combinazioni tra due estremi.
Un raggio, che ha la forma $\{x_0 + \theta v \mid \theta \ge 0\}$, con $v \neq 0$, è anch'esso convesso, ma non affine. I raggi sono i blocchi fondamentali per i coni nella teoria dell'ottimizzazione.
Il Test di Convessità
Definiamo un insieme $C$ come convesso se il segmento di retta che collega qualsiasi coppia di punti nell'insieme giace interamente nell'insieme. Questo requisito semplice — inclusione del "ponte" — è ciò che rende i problemi di ottimizzazione risolvibili o insormontabili.
Esempio: Ottimizzazione del Portafoglio
Nel campo finanziario, supponiamo che $x_1$ rappresenti un portafoglio del 100% azionario e $x_2$ del 100% obbligazionario. Il segmento di retta rappresenta tutte le combinazioni pesate possibili. Ad esempio, una ripartizione 60/40 si verifica a $\theta = 0.6$. Se l'insieme dei "portafogli ammissibili" è convesso, ogni miscela di due portafogli validi è garantita essere valida — una proprietà che semplifica enormemente la valutazione del rischio.